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3招搞定《微积分极限思想作文》写作。（精选5篇）
更新日期:2025-06-22 18:50
写作核心提示：
写一篇关于微积分极限思想的作文，需要注意以下事项：
1. 确定主题：明确作文的主题是关于微积分的极限思想，围绕这一主题展开论述。
2. 结构清晰：作文应具备良好的结构，包括引言、正文和结尾。引言部分简要介绍微积分极限思想，正文部分详细阐述其内涵、应用和意义，结尾部分总结全文，强调微积分极限思想的重要性。
3. 内容充实：在正文部分，可以从以下几个方面展开论述： a. 微积分极限思想的起源和发展； b. 微积分极限思想的基本概念和性质； c. 微积分极限思想在数学和物理学中的应用； d. 微积分极限思想对其他学科的影响； e. 微积分极限思想在现实生活中的应用。
4. 语言表达：作文应使用准确、简洁、流畅的语言，避免出现语法错误和错别字。同时，注意运用修辞手法，使文章更具文采。
5. 举例说明：在论述微积分极限思想的应用时，可以结合具体实例进行说明，使读者更容易理解。
6. 理论与实践相结合：在论述微积分极限思想时，既要介绍其理论，又要阐述其在实际应用中的价值。
7. 引用权威观点：在论述过程中，可以引用相关专家、学者的观点，以增强文章的说服力。
8. 注意篇幅：作文篇幅不宜过长，一般控制在800-1000
微积分在西元前——古典微积分思想分析与探讨 | 第五届数学文化征文
微积分在西元前——古典微积分思想分析与探讨作者 : 张与冰作品编号：011
摘要：提起微积分，大多数普通人的第一反应一定是牛顿-莱布尼茨公式。但是，在其被发现至被证明之前，世界上已经有了许多奇妙的构思来求解“积分”的结果。最早可以追溯到西元以前。故称“微积分是人类历史两千年的结晶”丝毫不为过。本文提出了有关极限和微积分思想的思考，探究了将想法落于实际的经典悖论与案例，简述了微积分从思想萌芽开始的逐渐完善的过程。从古希腊、战国时期到第二次数学危机，从庄子对于“无限”的思考到黎曼对于积分的定义，不同的案例都代表着当时人们对于“极限”“微分”“积分”的思考和感悟，突出了牛顿-莱布尼兹公式出现的重要性，也展现了千百年来数学家对于微积分严谨性定义的探索过程，本文试图借此来揭开掩盖在牛顿-莱布尼兹公式下的一条数学文化长河。
关键词：古典微积分，极限，无穷小量，案例
导言
关于用“极限”“微积分”的思想来解决实际问题的案例早有发现：阿基米德用穷竭法求出了大量几何方面的结论，费马用类似于求极值的办法求出了周长一定的矩形面积的最大值，中国的古籍中也有大量的记载。而直到数学被“放置”在坐标轴和函数上以后，人们开始讨论幂函数的曲线与坐标轴所围面积的大小。用微分的方法列出求和式后，问题变成了求幂和。但幂函数始终是一种特殊情况。直到牛顿-莱布尼茨公式出现，我们可以用公式化的“套路”“秒解”之前曾需要用一本书的几何论述来解决的求面积、体积问题。也许，在牛顿-莱布尼茨公式出现以后，之前所有关于此的痛苦尝试都不再有现实意义。但是，每一个对数学问题的思考和探究，都应该有其存在的价值，哪怕只有很短的一个时期，但也成为了微积分发展历程中，很有趣、很漂亮的一部分。
17世纪以后，微积分在解决绝大部分问题是都能给出正确而简洁的结果，因此被大范围地运用，具有广阔的应用前景，就和当今的量子力学一样。然而，微积分最基础的问题——无穷小量究竟是不是零——并没有得到被大众所普遍认可的解释。这便是第二次数学危机的由来。牛顿曾三次给出“无穷小量”的解释：（1）（1669年）常量（2）（1671年）趋于零的变量（3）（1676年）两个正在消逝的量的最终比。但争议依旧存在，不严谨的说明无法使绝大部分人信服。并且要紧的是，这些解释无法消除类似于“阿基里斯跑不过乌龟”的悖论情形。为了完善微积分理论的根基，数学家们试图找出一个精准的定义。
柯西曾以“极限”为核心，指出无穷小并不是固定值，无穷小量是变量，而且是以零为极限的变量。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、康托、狄德金等人建立了实数理论，并建立了极限论的基本定理，逐步完善了微积分的基本理论。
参考资料
笔者查阅了部分涉及微积分发展史的书籍和资料，宏观上了解了微积分发展,找到了一些与微积分有关的案例。例如，在克利福德·皮寇弗的《数学之书》中曾详细介绍了几种古典微积分的经典案例，给本文的案例分析提供了资料参考来源。
而卡尔·B·波耶的《微积分概念发展史》详细介绍了人类对于“极限”“无穷小量”的理解的变化，辩证分析了微积分理论未完善之前，人类对于微积分的正确尝试和其中存在的漏洞。其中曾详细写出了古希腊时期的微积分思想的发展过程，也指出古典微积分在无穷小量定义中的严格性问题，指出其中的限制性条件——“基于科学测量中所许可的近似性和一般通用的迭置效应理论之上”。
研究发现
极限的思想
案例一：取之不竭
《庄子·天下篇》记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一尺长的短木棍，每天取其剩余长度一半的短木棍，那么永远不会被取完。用数学语言我们可以这样转述：假设木棍长度为“1m”，那么第n天时能取到长度为“”的短木棍，剩余长度也为“”。即使,剩余的长度也不会为0，那么依照这种做法，短木棍永远无法被取完。当然，这只是一种“思想实验”，无法以现实的实验加以证明。
案例二：芝诺悖论公元前5世纪，芝诺提出了“二分法”，其中一个悖论的版本说的是：假设一个人从A地前往B地，将AB间的距离视为“1m”，人（视为质点）的速度为1m/s（不妨设该过程在一维下进行）。取AB之间的中间点C,将BC间的距离视为“”，取CB之间的中间点D，将DB之间的距离记为“”。显然，他在抵达B地的过程中，一定要经过每一个中点，但中点是无穷个的，在他抵达某一个中点的时候，他一定还需要抵达下一个中点。所以此人看似离终点越来越近，但他却“理论上”永远无法到达终点。这和常识是矛盾的，通过计算知道人在1s后就可以抵达终点。
案例分析
考虑该式：
这个式子可以看作是无限个的幂次的和。用它来解释以上两个案例：
(1) 庄子构想对一个短木棍进行无穷次分割，每天取一个可能长度极小但永远不等于0的短木棍（即总可以取到一截木棍）。而该式说明了，实际上，即使可以一直取下去，取的长度之和也只是无限趋近于“1m”，而不会超过“1m”，即短木棍的长度始终是有限的。
(2) 在芝诺的演算中，此人需要走无限次才能抵达终点，但是所花的时间总和却是无限趋近1s的，在极限的运算下，最后花的时间为1s。悖论的存在即在于，这样的操作看似是无限次的。但是，这种操作间隔的时间会无限趋近于0，操作（即人每一次经过一个中点）的时间之和是有限的。而当我把演算的方法换成距离除以平均速度（或者思考1s后此人走的路程刚好等于AB两地）的时候，悖论就不存在了。
特别指出，芝诺悖论在物理学上有相应的解释。物理学指出：时间和空间不是可以无限分割的，即总有一个微小的时间里，这个人前进了一个微小但不是“无限小”的距离，到达了B点，当空间、时间都是离散的时候，从甲地前往乙地所需要的跨步数就一定会是有限的。但是，若把芝诺的悖论抽象为数学的表述，物理学的解释就行不通了。正如马赫在《热学原理》中提出：“在数学上总是有意义的，而不符合感觉器官的能力为感觉下界所限。”最初对于无穷小量永无止境的争论，实际是因为物理学中的时间和空间无法分割的性质，故我们不能用时间或空间来举例定义“无穷小量”而完全符合其性质，更不用说其他的现实对应之物。因此，物理学的解释显然不能揭示其本质。其本质应是从数学角度来看无限和有限的关系——此两例的关键都在于：用无限的方法取出的结果是有限的。
从这里看出，战国时期和古希腊时期就已经有了对“极限”的思考。但悖论表明此时极限的“雏形”还存在着很明显的漏洞。至少无穷和极限并不是能从语言上简单描述的，否则就会产生逻辑上的悖论和“取之不尽”这样正确但难以接受的论断。
微积分的思想
案例一：幂势既同，积不容异
现给出一个求球体积的方法：假设有半径为R的球，以球心为原点，取过球心的一条直线为转轴，用垂直于转轴的过圆心的平面截该球，将该球分为两个完全相等的半球。考虑与该平面平行或重合且距离为的平面，其截球得一平面，该平面依旧为圆，且半径,面积<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 34.397ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRCoKsptLic2EcXRMwbdkOhvws6077cqkwUu0LdNgBWoJjia20s0QKXnmuT30cuVicAqiaBmc6a1ks4zJlazJEpymCrq/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">,然而，我们又有，取一个高度为R，半径为R的圆柱体，内嵌一个底面半径为R，高为R的倒置的圆锥体（及底面位于圆柱体上表面），那么，距圆柱底面高度为z处做平行底面的平面，切组合体，得到半径为1的圆和半径为z的圆，其面积差刚好为。因为对于任何z都成立，阿基米德假设，球的体积就是由这样无限个极薄的圆饼叠加在一起组成的，所以若任一高度下面积相等，则体积相等。那么可以得出，半球的体积就是圆柱的体积减去圆锥的体积。而圆锥的体积是圆柱的，故半球的体积是圆柱体积的，所以球的体积为。
这种方法类似于中国古代的祖暅原理，即“幂势既同，则积不容异”。用现代的数学语言来说，即若,那么我们可以说<embed style="vertical-align: -0.787ex;width: 25.375ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRCoKsptLic2EcXRMwbdkOhvwXuxn02hlJCcL99Bnp8WFGw62LricURz7rKTxSpxZkoLBibz7NpAYXGXQF8nlhoOm7U/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">（f（x）和g（x）在上可积）。
通过这样“等价”的方法，我们将求球的体积转化为求圆柱、圆锥的体积。类似的，古希腊人就一直在追求“可方形化”来求圆形的面积，比如希波克拉底提出的月形谜题：直角三角形两边延伸出两个月形面积的总和恰好与直角三角形的面积相等。他证明出了三种月形化为方形的例子，但是，林德曼于1882年证明不可能完成对于所有月形的证明。
案例二：阿基米德“穷竭法”
阿基米德（公元前287-公元前212）曾在《阿基米德方法》中利用作一系列的内接三角形去穷竭(逼近)弓形的办法，得出“抛物弓形面积是同底等高的三角形的”的结论，在《圆的度量》一书中证明球面的面积是大圆面积的四倍。而阿基米德推出这些正确的结论用到的穷竭法，蕴含着现在微分的思想。
现给出阿基米德求球表面积的方法（已知其体积）：把整个球体分切成无数的锥体，每一个锥体的底面都是球体表面积的一小部分。当这些锥体不断进行分切时，每一个锥体的底面都越来越小，高趋近于球的半径，则我们有:,则解方程可以得到。
穷竭法最早可追溯到毕达哥拉斯学派提出“面积贴合理论”，而类似于求体积和面积的方法在古代中国也有许多经典的案例，比如《九章算术》（三国刘徽注本）中有“圆田术”的记载——“一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂”， 弧田的计算上，注称“割之又割，使至极细，但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。
但我们要注意到，这时候通过切分使其趋近于一个可以计算的图形的方法，并不是万能的。比如，若将一个正方形的内切圆的边长无限逼近于该正方形分割成的小正方形的边长和，那么就可以得到π=4这样荒谬的结论。实际上我们可以看到，之所以可以用微分的思想来求面积、体积，是因为在上述“无限划分”的构造下，面积(二维)的误差可以忽略不计，类似于（即的高阶无穷小）,而上述求长度（一维）的方法，会造成误差产生类似于的差别。
类似“翻车”事件还有Schwarz求圆柱体表面积的做法，戏谑地说明了简单地使用内接多面体的体积来近似曲面的面积不可行。
费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了求周长恒为2L的矩形的面积最大值的方法：设矩形长为x，宽为L-x，则面积S(x)=x(L-x)，令长度减少一个量e，则面积改变量为.
除以e，令其商为零，即：
2x-L-e=0
令e=0,得,,即长与宽相等时，所得的矩形面积最大，即对应的正方形的面积最大。整个过程可以看成找一个点x，使得在x周围一个极小的区域内，面积的改变量几乎为零。
易知，这个结论是正确的。用现代的语言分析可以知道，费马在做的事情就是求极值点。使，当时，该式即为S(x)的导函数，当2x-L=0时，对应的x为S(x)的极值点，即为可能的最大值。
但和这种表述不一样的是，费马先除以e后令e=0，得出一个正确的结果，但是除数一定不能为0。虽然不是同时作用的，但在表述上还是类似于倾向“无穷小量等于0”的结论。
（1635年）意大利数学家卡瓦列里利用不可分原理证明了等价于
的结果，这里的不可分量原理过渡于古希腊的“穷竭法”，而对牛顿、莱布尼茨提出的“微分”也有启发作用。不可分量原理指出：“线段是由无数个等距点构成，面积是无数个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些点、线段、平面是长度、面积、体积的‘不可分量’。”这里的不可分量来源于古希腊的德谟克利特的原子论，认为原子是不可分的、可以刻画宇宙一切物质的原子。
而同时，费马也证明了
从而借助微分的思想“得出”了函数的图像与x=0，x=a（a>0），y=0所围图形的面积的结论。这看似是后面Newton-Leibniz公式的特殊情形。
但直到1654年，帕斯卡才在《数字幂求和》中才严格证明了上式,并且表示，如果没有运用极限的概念，则无法证明该式。至此，微积分已经在一些代数的特殊案例上有了很漂亮的结论，推动了Newton-Leibniz公式的出现，利于丰富牛顿在17世纪对于古典微积分的阐述。
古典微积分的发展
无穷小量的探讨
在（1671年）《流数法和无穷级数》中，牛顿对于这种“极小分量”使用了一种“与众不同”的描述。他把变量看作是由点、线、面的连续运动所生成的。虽然是一种几何层面抽象的概念，但是“运动”终于引入了“无穷小量”的概念当中。而此时，莱布尼茨看出了“求积”和求和的关系，在1675年的手稿中第一次使用了来表示这种“积”的关系，并给出了幂函数的微分和积分公式。1677年，在一份手稿中明确写出了微积分基本定理。
随后，又有牛顿的《曲线求积术》（1691年），其中对于无限小量的表述，大致为“消失量的最终比严格地说并不是最终量的比，而是这些量无限减小时它们之比所趋近的极限，并且虽然它们能比任何给定的无论什么差值都接近于它，但在这些量无限减小之前，既不能超过也不能达到它。” 通过比值的描述，牛顿很巧妙地避开了无穷小量的探讨。
此时，魏尔斯特拉斯严谨的语言至关重要，它重新定义了极限、连续、导数等基本概念，让“无穷小量”得以从抽象概念转化为可以用数学语言表述的概念。
牛顿-莱布尼茨公式的闪耀
1677年，牛顿-莱布尼茨公式提出，结束了之前长达千年的古典微积分的问题探讨。恩格斯曾把17世纪下半叶微积分的发现，视为人类精神的最高胜利。
它将之前所有看似巧妙的结论里的规律总结为一个公式，使得微积分的思想能够运用在更多普遍的事例上。
英国学者李约瑟在其编著的15卷《中国科学技术史》中正式提出了李约瑟难题——“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献，但为什么科学和工业革命没有在近代的中国发生？”其中一个原因是“传统重实用轻理论的影响”。从本文最初的几个案例中看到，微积分的思想很早就已经出现了，但是只是注重在具体案例中的应用，比如求圆的面积。而到牛顿、莱布尼茨提出微积分这个概念体系，已经是十七世纪的事。如果说“微积分是人类历史两千年的结晶”，那么在这两千年中，最具有挑战性的应当是可以概括一切结论的规律——牛顿-莱布尼茨公式——的发现。
可积性理论的发展
等微积分逐渐完善后，我们来看（1854年）Riemann积分的定义：
S是函数f在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的,都存在，使得对于任意的取样分割,只要它的子区间长度的最大值,就有：
从这里开始，函数的可积性可以准确地从数学语言表示出来，而非流于直观、抽象的描述上。在很多古代中国和古希腊的案例中，不妨认为从连续的数学量中进行某种连续分割，就可以得到“微分”，类似于在化学反应中原子是最小的粒子一样。但是连续函数在函数中是极为特殊的一部分，就好比有理数在实数中是极小一部分一样，甚至可以说“测度为0”，同样，即使是Riemann积分，也只是对于一类很特殊的函数。
《工程数学实变函数与泛函分析》的引言中写道：
“在Riemann积分中，要想逐项积分，一般需要一致收敛来保证。但这一要求，常常或是得不到满足，或是招致繁杂的验证，这就在很大程度上限制了Riemann积分的应用。Riemann积分之所以有这样的缺点，究其原因，它主要是针对连续函数或“不太间断"的函数而定义的。”
从这里我们看出，即使牛顿-莱布尼茨公式是伟大的，但那也绝对不会是微积分的终点。
总结
“无穷是个新世界。”当争议无法停止时，我们就应该明白，我们不能再用以前用来研究有限情景的思维来研究无穷的事物。而在一切变得明了之前，在牛顿-莱布尼茨公式出现以前，在无穷小量被准确地描述以前，所有尝试以微积分的思想来解决问题的人犹如在黑夜里行走，他们用无止境的思考换来了“有理”的悖论和巧妙的构造。这些思考是黑夜里的一点点星光，直到月亮出现，月明星稀，但是，星星依旧值得为人称道，至少它微弱地照亮了公元前微积分的世界。世界公认的是，把耶稣诞生之年作为纪年的开始，那么抛去宗教色彩不谈，我们甚至可以说，微积分的思想在神出现以前就已经产生了。
参考文献
卡尔·B·波耶.《微积分概念发展史》.上海:复旦大学出版社,2007克利福德·皮寇弗.《数学之书》重庆大学出版社,2015董加礼.《工程数学实变函数与泛函分析》.吉林教育出版社,1986宋际平,龙述君.《大学文科数学》.北京邮电大学出版社,2011
张顺燕.《微积分的思想和方法》.中央广播电视大学出版社,2001
常庚哲，史济怀.《数学分析教程》.中国科学技术大学出版社，2012
已发文章>>001 “数”里有乾坤 “形”中悟真知——以一次函数为例谈代数推理002《龟兔赛跑》寓言故事的数学教育哲学阐释003 HPM视角下小学数学单元整体教学实践研究——以人教版五年级下册多边形的面积为例004 朝三暮四：猴子不懂加法交换律005 数学联结远方的友谊——原来我们能看到同一片云！006 数学可以很好玩：数学让我站在世界之巅007《能被3整除的数的特征》教学设计008《三角形内角和》应该怎么教？009 浅谈数学美010 小学数学教材中的对称图形研究——美学的眼光看教材
微积分在西元前——古典微积分思想分析与探讨作者 : 张与冰
关键词：古典微积分，极限，无穷小量，案例
导言
17世纪以后，微积分在解决绝大部分问题是都能给出正确而简洁的结果，因此被大范围地运用，具有广阔的应用前景，就和当今的量子力学一样。然而，微积分最基础的问题——无穷小量究竟是不是零——并没有得到被大众所普遍认可的解释。这便是第二次数学危机的由来。牛顿曾三次给出“无穷小量”的解释：（1）（1669年）常量（2）（1671年）趋于零的变量（3）（1676年）两个正在消逝的量的最终比。但争议依旧存在，不严谨的说明无法使绝大部分人信服。并且要紧的是，这些解释无法消除类似于“阿基里斯跑不过乌龟”的悖论情形。为了完善微积分理论的根基，数学家们试图找出一个精准的定义。
柯西曾以“极限”为核心，指出无穷小并不是固定值，无穷小量是变量，而且是以零为极限的变量。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、康托、狄德金等人建立了实数理论，并建立了极限论的基本定理，逐步完善了微积分的基本理论。
而卡尔·B·波耶的《微积分概念发展史》详细介绍了人类对于“极限”“无穷小量”的理解的变化，辩证分析了微积分理论未完善之前，人类对于微积分的正确尝试和其中存在的漏洞。其中曾详细写出了古希腊时期的微积分思想的发展过程，也指出古典微积分在无穷小量定义中的严格性问题，指出其中的限制性条件——“基于科学测量中所许可的近似性和一般通用的迭置效应理论之上”。
极限的思想
案例一：取之不竭
《庄子·天下篇》记载道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思是：一尺长的短木棍，每天取其剩余长度一半的短木棍，那么永远不会被取完。用数学语言我们可以这样转述：假设木棍长度为“1m”，那么第n天时能取到长度为“”的短木棍，剩余长度也为“”。即使,剩余的长度也不会为0，那么依照这种做法，短木棍永远无法被取完。当然，这只是一种“思想实验”，无法以现实的实验加以证明。
案例二：芝诺悖论
公元前5世纪，芝诺提出了“二分法”，其中一个悖论的版本说的是：假设一个人从A地前往B地，将AB间的距离视为“1m”，人（视为质点）的速度为1m/s（不妨设该过程在一维下进行）。取AB之间的中间点C,将BC间的距离视为“”，取CB之间的中间点D，将DB之间的距离记为“”。显然，他在抵达B地的过程中，一定要经过每一个中点，但中点是无穷个的，在他抵达某一个中点的时候，他一定还需要抵达下一个中点。所以此人看似离终点越来越近，但他却“理论上”永远无法到达终点。这和常识是矛盾的，通过计算知道人在1s后就可以抵达终点。
案例分析
这个式子可以看作是无限个的幂次的和。用它来解释以上两个案例：
(2) 在芝诺的演算中，此人需要走无限次才能抵达终点，但是所花的时间总和却是无限趋近1s的，在极限的运算下，最后花的时间为1s。悖论的存在即在于，这样的操作看似是无限次的。但是，这种操作间隔的时间会无限趋近于0，操作（即人每一次经过一个中点）的时间之和是有限的。而当我把演算的方法换成距离除以平均速度（或者思考1s后此人走的路程刚好等于AB两地）的时候，悖论就不存在了。
特别指出，芝诺悖论在物理学上有相应的解释。物理学指出：时间和空间不是可以无限分割的，即总有一个微小的时间里，这个人前进了一个微小但不是“无限小”的距离，到达了B点，当空间、时间都是离散的时候，从甲地前往乙地所需要的跨步数就一定会是有限的。但是，若把芝诺的悖论抽象为数学的表述，物理学的解释就行不通了。正如马赫在《热学原理》中提出：“在数学上总是有意义的，而不符合感觉器官的能力为感觉下界所限。”最初对于无穷小量永无止境的争论，实际是因为物理学中的时间和空间无法分割的性质，故我们不能用时间或空间来举例定义“无穷小量”而完全符合其性质，更不用说其他的现实对应之物。因此，物理学的解释显然不能揭示其本质。其本质应是从数学角度来看无限和有限的关系——此两例的关键都在于：用无限的方法取出的结果是有限的。
从这里看出，战国时期和古希腊时期就已经有了对“极限”的思考。但悖论表明此时极限的“雏形”还存在着很明显的漏洞。至少无穷和极限并不是能从语言上简单描述的，否则就会产生逻辑上的悖论和“取之不尽”这样正确但难以接受的论断。
案例一：幂势既同，积不容异
现给出一个求球体积的方法：假设有半径为R的球，以球心为原点，取过球心的一条直线为转轴，用垂直于转轴的过圆心的平面截该球，将该球分为两个完全相等的半球。考虑与该平面平行或重合且距离为的平面，其截球得一平面，该平面依旧为圆，且半径,面积<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 34.397ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRCoKsptLic2EcXRMwbdkOhvws6077cqkwUu0LdNgBWoJjia20s0QKXnmuT30cuVicAqiaBmc6a1ks4zJlazJEpymCrq/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">,然而，我们又有，取一个高度为R，半径为R的圆柱体，内嵌一个底面半径为R，高为R的倒置的圆锥体（及底面位于圆柱体上表面），那么，距圆柱底面高度为z处做平行底面的平面，切组合体，得到半径为1的圆和半径为z的圆，其面积差刚好为。因为对于任何z都成立，阿基米德假设，球的体积就是由这样无限个极薄的圆饼叠加在一起组成的，所以若任一高度下面积相等，则体积相等。那么可以得出，半球的体积就是圆柱的体积减去圆锥的体积。而圆锥的体积是圆柱的，故半球的体积是圆柱体积的，所以球的体积为。
这种方法类似于中国古代的祖暅原理，即“幂势既同，则积不容异”。用现代的数学语言来说，即若,那么我们可以说<embed style="vertical-align: -0.787ex;width: 25.375ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRCoKsptLic2EcXRMwbdkOhvwXuxn02hlJCcL99Bnp8WFGw62LricURz7rKTxSpxZkoLBibz7NpAYXGXQF8nlhoOm7U/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">（f（x）和g（x）在上可积）。
通过这样“等价”的方法，我们将求球的体积转化为求圆柱、圆锥的体积。类似的，古希腊人就一直在追求“可方形化”来求圆形的面积，比如希波克拉底提出的月形谜题：直角三角形两边延伸出两个月形面积的总和恰好与直角三角形的面积相等。他证明出了三种月形化为方形的例子，但是，林德曼于1882年证明不可能完成对于所有月形的证明。
案例二：阿基米德“穷竭法”
阿基米德（公元前287-公元前212）曾在《阿基米德方法》中利用作一系列的内接三角形去穷竭(逼近)弓形的办法，得出“抛物弓形面积是同底等高的三角形的”的结论，在《圆的度量》一书中证明球面的面积是大圆面积的四倍。而阿基米德推出这些正确的结论用到的穷竭法，蕴含着现在微分的思想。
现给出阿基米德求球表面积的方法（已知其体积）：把整个球体分切成无数的锥体，每一个锥体的底面都是球体表面积的一小部分。当这些锥体不断进行分切时，每一个锥体的底面都越来越小，高趋近于球的半径，则我们有:,则解方程可以得到。
穷竭法最早可追溯到毕达哥拉斯学派提出“面积贴合理论”，而类似于求体积和面积的方法在古代中国也有许多经典的案例，比如《九章算术》（三国刘徽注本）中有“圆田术”的记载——“一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂”， 弧田的计算上，注称“割之又割，使至极细，但举弦矢相乘之数，则必近密率矣”。
但我们要注意到，这时候通过切分使其趋近于一个可以计算的图形的方法，并不是万能的。比如，若将一个正方形的内切圆的边长无限逼近于该正方形分割成的小正方形的边长和，那么就可以得到π=4这样荒谬的结论。实际上我们可以看到，之所以可以用微分的思想来求面积、体积，是因为在上述“无限划分”的构造下，面积(二维)的误差可以忽略不计，类似于（即的高阶无穷小）,而上述求长度（一维）的方法，会造成误差产生类似于的差别。
类似“翻车”事件还有Schwarz求圆柱体表面积的做法，戏谑地说明了简单地使用内接多面体的体积来近似曲面的面积不可行。
费马在《求最大值和最小值的方法》中给出了求周长恒为2L的矩形的面积最大值的方法：设矩形长为x，宽为L-x，则面积S(x)=x(L-x)，令长度减少一个量e，则面积改变量为.
除以e，令其商为零，即：
2x-L-e=0
令e=0,得,,即长与宽相等时，所得的矩形面积最大，即对应的正方形的面积最大。整个过程可以看成找一个点x，使得在x周围一个极小的区域内，面积的改变量几乎为零。
易知，这个结论是正确的。用现代的语言分析可以知道，费马在做的事情就是求极值点。使，当时，该式即为S(x)的导函数，当2x-L=0时，对应的x为S(x)的极值点，即为可能的最大值。
但和这种表述不一样的是，费马先除以e后令e=0，得出一个正确的结果，但是除数一定不能为0。虽然不是同时作用的，但在表述上还是类似于倾向“无穷小量等于0”的结论。
从而借助微分的思想“得出”了函数的图像与x=0，x=a（a>0），y=0所围图形的面积的结论。这看似是后面Newton-Leibniz公式的特殊情形。
但直到1654年，帕斯卡才在《数字幂求和》中才严格证明了上式,并且表示，如果没有运用极限的概念，则无法证明该式。至此，微积分已经在一些代数的特殊案例上有了很漂亮的结论，推动了Newton-Leibniz公式的出现，利于丰富牛顿在17世纪对于古典微积分的阐述。
古典微积分的发展
无穷小量的探讨
而此时，莱布尼茨看出了“求积”和求和的关系，在1675年的手稿中第一次使用了来表示这种“积”的关系，并给出了幂函数的微分和积分公式。1677年，在一份手稿中明确写出了微积分基本定理。
随后，又有牛顿的《曲线求积术》（1691年），其中对于无限小量的表述，大致为“消失量的最终比严格地说并不是最终量的比，而是这些量无限减小时它们之比所趋近的极限，并且虽然它们能比任何给定的无论什么差值都接近于它，但在这些量无限减小之前，既不能超过也不能达到它。” 通过比值的描述，牛顿很巧妙地避开了无穷小量的探讨。
此时，魏尔斯特拉斯严谨的语言至关重要，它重新定义了极限、连续、导数等基本概念，让“无穷小量”得以从抽象概念转化为可以用数学语言表述的概念。
它将之前所有看似巧妙的结论里的规律总结为一个公式，使得微积分的思想能够运用在更多普遍的事例上。
英国学者李约瑟在其编著的15卷《中国科学技术史》中正式提出了李约瑟难题——“尽管中国古代对人类科技发展做出了很多重要贡献，但为什么科学和工业革命没有在近代的中国发生？”其中一个原因是“传统重实用轻理论的影响”。从本文最初的几个案例中看到，微积分的思想很早就已经出现了，但是只是注重在具体案例中的应用，比如求圆的面积。而到牛顿、莱布尼茨提出微积分这个概念体系，已经是十七世纪的事。如果说“微积分是人类历史两千年的结晶”，那么在这两千年中，最具有挑战性的应当是可以概括一切结论的规律——牛顿-莱布尼茨公式——的发现。
等微积分逐渐完善后，我们来看（1854年）Riemann积分的定义：
S是函数f在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的,都存在，使得对于任意的取样分割,只要它的子区间长度的最大值,就有：
《工程数学实变函数与泛函分析》的引言中写道：
“在Riemann积分中，要想逐项积分，一般需要一致收敛来保证。但这一要求，常常或是得不到满足，或是招致繁杂的验证，这就在很大程度上限制了Riemann积分的应用。Riemann积分之所以有这样的缺点，究其原因，它主要是针对连续函数或“不太间断"的函数而定义的。”
从这里我们看出，即使牛顿-莱布尼茨公式是伟大的，但那也绝对不会是微积分的终点。
“无穷是个新世界。”当争议无法停止时，我们就应该明白，我们不能再用以前用来研究有限情景的思维来研究无穷的事物。而在一切变得明了之前，在牛顿-莱布尼茨公式出现以前，在无穷小量被准确地描述以前，所有尝试以微积分的思想来解决问题的人犹如在黑夜里行走，他们用无止境的思考换来了“有理”的悖论和巧妙的构造。这些思考是黑夜里的一点点星光，直到月亮出现，月明星稀，但是，星星依旧值得为人称道，至少它微弱地照亮了公元前微积分的世界。世界公认的是，把耶稣诞生之年作为纪年的开始，那么抛去宗教色彩不谈，我们甚至可以说，微积分的思想在神出现以前就已经产生了。
卡尔·B·波耶.《微积分概念发展史》.上海:复旦大学出版社,2007克利福德·皮寇弗.《数学之书》重庆大学出版社,2015董加礼.《工程数学实变函数与泛函分析》.吉林教育出版社,1986宋际平,龙述君.《大学文科数学》.北京邮电大学出版社,2011
张顺燕.《微积分的思想和方法》.中央广播电视大学出版社,2001
常庚哲，史济怀.《数学分析教程》.中国科学技术大学出版社，2012
我眼中的数学思想 | 第四届数学文化征文
我眼中的数学思想作者 : 刘瑞祥作品编号：097
数学思想是一个很大的题目，论述的人很多，但是有的文章虽然以“数学思想”为标题，而内容却未必真的是数学思想，可能只是具体的解题方法。本文谈谈我眼中的数学思想。需要提前说明的是，这里只是我——一个普通数学爱好者——眼中的数学思想。
一、抽象化思想
最重要、最基本的数学思想就是抽象化。打从人类认识数字开始，就有了抽象化思想，可以说抽象在数学中无所不在，理应成为数学思想中的No.I。各种几何对象亦是抽象了的产物，比如点、线、面等等。尺规作图方面，直尺被抽象成无限长、无刻度的工具，圆规被抽象成脚距任意的工具，如此等等。进一步看，无论是集合，还是布尔代数，都是把研究对象尽量抽象，一直抽象到只剩一个字母作为躯壳而已。再比如欧拉对哥尼斯堡七桥问题的研究，也是把桥抽象成线，岛抽象为点的。抽象舍弃了与当下无关的次要因素，从而更深刻揭示事物的本质特征，展现出不同事物之间的共同点。而现代数学中的抽象早已超出了人类能直接想象的范围。
数学的抽象还影响到了其它学科。以力学为例，质点、质点组、刚体、弹性体等等就是客观实物不同程度的抽象。
二、确定性思想
自从数学诞生以来，数学问题的答案正误就像黑白一样分明。等于就是等于，不等于就是不等于。哪怕两者之间有着万亿分之一的差距，已经在现实中无法分辨，但在严格的数学上仍然是有区别的。这其中最佳例子就是圆周率，虽然现代数学已经可以计算出若干亿位数字，而它的精确表示方法仍然只是字母π。
说到这里我要补充一句，那就是伴随着现代数学的发展，好像这一思想已经变得过时了。不是有一本书就叫做《数学：确定性的丧失》吗？但在我这个低水平写手的眼里，这不过是一种误解，因为所谓“确定性的丧失”，其实是前提或者问题本身的变化而变化的。比如所谓非欧几何，因为前提（公设）和欧氏几何不同，所以才推出不同的结论。而要研究这些问题可能的结果，仍然需要数学。这正像工业化带来了环境污染，但要解决污染就要进一步发展工业。
三、公理化思想
说实话，这才是我第一个想到的数学思想，因为我毕竟是通读过《几何原本》的人。公理化方法其实基本就是逻辑法，在数学上的地位毋庸置疑，而其历史和意义我也不再重复。我只说一个问题：一般谈到公理化的人，往往会提到自洽性、独立性、完备性这三个特点。但从实用的角度来看，公理还应该具有简洁、方便的特点。比如三角形内角定理、勾股定理在一定程度上反映了平行公设，那为什么不以之代替平行公设呢？原因就在于不方便、不直观。
公理又是反直观的产物，因为如果把全部数学（当然这里的“全部”是指某个研究领域的“全部”）都归为公理的产物，那么这些公理必然是已经去掉了直观的表象，只剩下一堆逻辑命题。这当然对某些领域是有益的，比如机器证明，但对于人们的理解却是困难的。 四、算法化思想
我们在称赞公理化的同时，不应该忘记算法化思想，或者也可以称为“机械化思想”。不论这在古代是不是东方（中国）独有的思想，都无损于它独立于公理化思想的地位。它和公理化思想互相补充，相映成趣，宛如数学上的并蒂莲花。在数学上，凡是可以写成一定算法的内容，意味着具有简单、通用的解答方法，当然这个算法越简单就越好。比如用阿拉伯数字演算加减乘除，就比用罗马数字方便，再比如使用方程解应用题，就比直接列式容易，因为方程不但意味着多了一个条件（把未知量用字母表示出来），也意味着只要按照一定的程序，就可以得到结果。
在现代社会，算法更是得到了计算机的加持，可以发挥更大作用。我国数学家吴文俊、张景中等，深入挖掘算法思想，在机器证明领域做出了突出贡献。这充分证明了算法思想对现代数学的意义。
五、模型化思想
谈数学思想，不能离开模型化思想。比如前面提到的公理化思想中已经涉及非欧几何，而非欧几何的“合法地位”是和数学家建立非欧几何的模型分不开的。数学家适当修改了关于“直线”“平行”等概念的定义（或人们对之的印象），使得原来的平行公理不再适用。当然模型对几何基础的功劳不止于此，比如普通的四面体就可以看作是某些公理的一个模型：它满足两点（这里的点仅指“顶点”）确定一直线、两线交于一点等公理。
实数论把实数和直线上的点对应起来，从而使得实数有了坚实的基础。而复数则是模型化的又一个例子。平面上的点和复数建立一一对应的关系，这以后就可以用平面上点的坐标研究复数了。类似的，高维空间超出了人类直觉把握的能力，如何研究？方法很简单，就是用列（或行）向量作为其模型，使高维空间的点和一组实数对应起来。
六、转化思想
数学上的转化无处不在。最初等的比如把应用题中的条件转化为式子，高级一点的比如把数量关系转化为图形。适当的转化往往可以简化问题，为我们最终解决问题提供一个良好的途径。比如，设a,b,c,d均大于0且a/b<c/d，则可证a/b<(a+c)/(b+d)<c/d。这个问题虽然可以借助字母进行推理，但无论如何不如转化为斜度、平均速度等问题来得直接、清楚。而式子
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更需要借助类似于下面的图来证明。 再举几个转化的例子吧。比如怎样得出平行四边形面积公式？方法便是将其转化为长方形。而几何中更常见的是各种数量关系和图形位置的转化，比如要证明平行，可证明同位角相等，反之亦然。反证法也是转化的例子，如果你无法直接证明，可以证明结论的反面不成立。
前面提到的模型化思想，似乎也可以称为转化思想，但二者在本文中的区别是，模型化指的是更“基本”的方面，往往针对一个数学领域，而“转化”则是针对具体的数学问题。
七、极限思想
极限是微积分的基本概念，而微积分在现代数学中的地位是无可置疑的。众所周知的是，极限概念经过几代数学家的努力，终于有了一个坚实的基础。由此，微积分才成为一个可以放心使用的工具。
在几何上，极限有几个重要应用：首先是割线的极限为切线，其次是利用极限方法求面积和体积。这正是微分和积分的源头。然而微积分一旦产生，就冲出数学界，成为各个领域的有力工具，这甚至早在极限概念严格化之前就发生了。
愈是重要的就愈难用语言描述。关于极限，就说到这里了。
八、恒定思想
只有真正永恒的才是有价值的。这句话虽然是杨振宁先生为怀念邓稼先而写的，但同样适用于其它领域，比如数学。在数学上，有意义的是某种变换下不变的量。以欧拉定理为例，V-E+F=2，这个常量2就是一个重要的不变量，它揭示了不同的简单多面体之间的联系。如果引入“体数”S，则上式可以写作V-E+F-S=1，这里各字母依次是点（零维）、棱（一维）、面（二维）、体（三维）。不但如此，对于一维图形，由二点一线组成，二维简单图形则是n点n线，均满足后者。射影几何中，也有很多重要的不变量（不变关系），比如交比、结合性等。
在解方程（不等式）的过程中，需要保持每一步变形都是同解变形，如果遇到可能产生不同解的操作，则需要验根。
关于这一思想，我要说明的最后一点是，这个思想的名字是我自己起的，因为我没有找到合适的专有名词。
欢迎读者的补充和讨论。
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012 无理数的定义和实数理论的建立013 一个容易被忽视的问题——数学文化014 “双减”背景下初中数学学科的合作学习方式探究015 中学数学德育渗透的方法与路径016 《数学的力量》读后感017 基于数学文化的单元统整教学设计——以“圆的认识与面积”教学为例
018 有助于数的理解的数字圈环
019 以折叠为例，探究生长型数学教学模式020 我从事数学科普写作的经验与启示
021 在阅读中滋长智慧——读《教育智慧从哪里来》有感022 学习数学史 做数学的使者023 开数学文化之窗 启数学文化魅力——阅读《美丽的数学》有感
024 “文学独白”——数学教学因你而精彩025 如何用多面体三等分正方体026 HPM视角下《圆的周长》教学设计027 被误解的“勾股定理”028 好玩的数学029 帮小青蛙设计一个井030 万物的基础——数学——读《从一到无穷大》有感
031 读《孙子算经》鸡兔同笼问题有感032 HPM视角下高中数学多样化作业的设计
033 攀越高峰的领路人——数学文化
034 我的好兄弟：数学
035 细嗅数学文化之香036 藤蔓的喜悦037 物理力学中数学的影子
038 复数外传
039 函数的历史和发展
040 数学文化与我041 数学之趣042 探索数学知识背后的秘密043 数学文化和我的数学学习044 古代算数几何形体——阳马与鳖臑045 数学文化与我的数学学习046 我与数学文化047 “形象”的数学048 站在巨人的肩膀上学习数学049 从数学文化和个人影响的角度剖析对数的历史050 论数学文化
051 我与数学文化
052 正弦定理的源起与应用053 数学文化融入初中数学教学的实践与思考054 给数字爱好者的1个全新的0至9数字思考挑战及应用问题055 并不需要的“承重墙”与数学课改中的问题 —— 兼与马立平博士商榷056 奇妙的规律057 生活中的“家常便饭”——数的表示方法058 读《黄东坡智慧大讲堂——带你发现数学之美》有感059 通识教育视角下初中数学思维培养从直观向抽象过渡的研究060 读《古今数学思想》有感061 为什么圆的面积的导数等于周长？球的的体积的导数等于其表面积？062 《奇妙的数学文化》读后感063 数学文化视角下《九宫图的奥秘》教学设计064 关于毕达哥拉斯定理适用蒙特卡罗方法验证的探讨065 遨游数学星空，体味数学奇妙066 核心素养下的，数学文化中的美育渗透067 探寻数学之奇，欣赏数学之美068 框架思维——读《数学这样学就对了》有感069 从肌肉记忆到《几何原本》第四公理070 《数学大世界》读后感071 除法才是四则运算的基础：兼与马立平博士商榷072 从“海盗分金”到“囚徒困境”——博弈该如何进行？073 “0”与“1”的辩证法和数学学习之路074 感悟数学075 我的好伙伴：数学076 一则寓言故事带来的教学启发077 神奇的数学 ——最大公因数、最小公倍数078 怎样学好数学079 “7”真是个神奇的数字080 《一个定理的诞生：我与菲尔茨奖的一千个日夜》读后感081 梦想中的职业，都与数学息息相关 082 哪⾥有数，哪⾥就有美⸺读《数学之美》有感083 探索信息技术融入初中数学文化实践活动084 秦九韶数学案——随机抽样统计推理的反问题085 第四次数学危机086 基于三阶魔方的STREAM教学设计087 趣味家庭作业 引领学生学习088 数学之道089 了解微积分后的那些事……090 不会？不，会091 一个偶然的发现——完全数及其基因构造数列092 在规矩方圆中求索——“圆的认识”的文化育人视界093 欧拉公式的几何证明与意义
我眼中的数学思想作者 : 刘瑞祥
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