从带余数除法谈起

更新日期:2025-06-02 11:29

写作核心提示：

写一篇关于从带余数除法谈起的作文，需要注意以下事项：
1. 确定主题：明确作文的主题，围绕带余数除法展开论述，可以从以下几个方面入手：带余数除法的定义、应用、历史背景、实际意义等。
2. 结构安排：一篇优秀的作文需要有清晰的结构，一般包括引言、正文和结尾三个部分。在引言部分简要介绍带余数除法，正文部分详细阐述其相关内容，结尾部分总结全文，提出自己的观点。
3. 内容充实：在正文部分，可以从以下几个方面进行论述：
a. 定义带余数除法：解释带余数除法的概念，与普通除法进行对比，说明其特点。
b. 带余数除法的应用：列举带余数除法在实际生活中的应用场景，如计算余数、求最大公约数、密码学等。
c. 带余数除法的历史背景：介绍带余数除法的发展历程，从古至今的演变过程。
d. 带余数除法的实际意义：阐述带余数除法在数学领域、科学研究和实际应用中的重要性。
4. 语言表达：作文的语言要准确、流畅、生动，避免出现语法错误和错别字。在论述过程中，可以运用一些修辞手法，如比喻、排比等，使文章更具感染力。
5. 观

从带余数除法谈起

作者 | 严士健(北京师范大学)，张宁生(北京师范学院分院)

来源 |《数学通报》，1985年第10期

本文原是北京师范大学严士健先生在北京市海淀区教师进修学校组织的报告会上所作的演讲的讲演稿。本文从带余数除法出发，推广到多项式环，欧氏环等讨论了类似问题，最后回过头来讨论了小学整数除法的理论根据。这对教师进修和教学都有参考价值。

带余数除法是一个比较古老的初等数论公式了，然而它很有用，不仅是整数的可约性理论的基础，而且可用以进一步解决多元一次不定方程、同余式、连分数等许多其它数论问题。但是在此并不打算这样展开，大家如有兴趣，可以系统学习初等数论的书。

在本文中，我们先介绍一下带余数除法，接着直接导出定理2，它是可约性基本理论的出发点，然后从这些基本的东西出发，看一看某些近代的内容与它的相似性，比如多项式环、欧氏环等，最后，看一看小学算术中的整数除法的理论根据，也是耐人寻味的。

§1 带余数除法

（带余数除法）：若是两个整数，其中，则存在着两个整数，使得

成立，而且是唯一的。

注意，这个性质告诉我们，当用b去量a时，可能量尽，此时无余量，即r=0——整除；也可能量不尽，此时余量在0与b之间，即0<r<b——非整除。

证：(i)存在性

作整数序列

…，-3b，-2b，-b，0,b,2b,3b，.…

则a必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q，使得

qba(q+1)b

成立，令a-qb=r，则a=bq+r，而0rb。

(ii) 唯一性

如果另有一对整数和，使得

则

于是

假如,则，于是与矛盾，,从而。

故是唯一的。

例 1270除以某数得商74，求除数b和余数r。

注意，通常作除法时，都是除数已知，而此处b未知，因此，就要从条件

入手考虑了。

解：因为，其中

所以

因此

即

故，从而

若是形如(是任意整数，是两个不全为零的整数)的数中的最小正数；则对任何整数，来说

此处及以后用表示整除。

证 欲证，只要作带余数除法

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（向左滑动查看完整公式）

然后证得即可。

因是整数，所以是整数，于是由上式知

但是形如的数中的最小正整数，故，即r=0。因此

如果都是整数，且，那么，d就叫的公因数，几个数的公因数中最大的一个，叫这几个数的最大公因数，用()表示的最大公因数。

如引理的条件，则，且的因数与的公因数相同。

证：如果我们能够证明的所有公因数与的所有因数相同，那么的最大公因数与的最大因数相同，从而

(i)由引理知(是任意整数)，因而

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即 <embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 31.817ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFNX01bsmyrz9acyAt9vIs8qZ7pqp9mZp9ZBsJRKw6WxichBmUP8eVdKrWHbzSKBia0bn6yfT0QDXQO/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

故的任一因数是的公因数。

(ii)设d是a，b的任一公因数，则

故a，b的任一公因数也是的因数。因此a，b的所有公因数与的所有因数相同。当然a，b的最大公因数与的最大因数也相同，即，而且a，b的公因数与(a，b)的因数相同。

由定理2可以导出整数的可约性理论，详情可参看闵嗣鹤、严士健：《初等数论》第一章§3推论1.1(第10页)到§4推论3.3(第15页)，但是该书应用辗转相除法导出本文的定理2，其好处在于指出了它求最大公因数的方法，而本文导出定理2的过程则较为直接、抽象。

§2 在抽象代数中的推广

而且这种方法和思路在抽象代数中有很多推广，对抽象代数的发展有重要的启发，这一节的目的就是对于这一方面作一些介绍，先介绍用建立整数带余除法的办法可以建立有理数系数的多项式及高斯(代数)整数的带余除法，再加以综合，进而介绍欧氏环的概念以及有关问题。

设<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 42.678ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFBJweEqiakJR9FibaIj10oMtD2JJya2KfK4ianuFK6ibicKzYVTmydvdGfGW6yOlukQtiaEONu1NkUV8D3/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 41.455ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFBJweEqiakJR9iaJT9H4ExrbN8BXtVqPibp12uKjTGlM5OqxeDtt8jGFy2pjZyr8icPwsUbu80vcnxFF/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">,

为有理系数多项式(即为有理数)，则存在唯一的有理数多项式，使得

. (1)

其中的次数的次数或r(x)0.

证：先对f(x)的次数n应用第二归纳法，证明q(x),r(x)的存在性，当n<m时，令r（x）=f(x),q(x)=0则存在性结论成立。作归纳假设：存在性结论对n<N(正整数)成立，待证f(x)为N次多项式的存在性结论。

由于

用表示（2）的右边，则的次数所以由归纳假设，存在有理系数多项式使

,

的次数<g(x)的次数或.将次式代入（2）式即得

<embed style="vertical-align: -1.045ex;width: 35.528ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFDrGQ58vv7kXAT1FkkZjIqCU0r0wUPS8O0tOKKU61pDH4y8hke9LwReGtr0R1IicB8l5ibWNsOjyYk/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

<embed style="vertical-align: -1.469ex;width: 32.223ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFDrGQ58vv7kXyXZUibSib38PLFHUvkL0M2Ijtp5iag7r58SKNvGIicP3yhNr6THGw5wX2rcZ3Agry9dz/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

令<embed style="vertical-align: -1.045ex;width: 37.837ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFDrGQ58vv7kXWKJMrlbeJWFEKOTXeU3KvZ9z5VY2BjqtjFknuVicJ9e4os1CKP0dJBxReMlrSfbvB/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">,即知存在性结论对N次多项式成立，由数学归纳法知存在性结论对任何有理系数多项式成立.

设存在两组有理系数多项式，,满足存在性结论，则

<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 41.696ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFPCns4hA35rBsPUjVAib9DsOnia1HBqZibKsIS3ibN5nXsxH8UwicuiaSibpROibpC4OPOkW0CzQicfB6IRvk/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

即

<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 34.899ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFPCns4hA35rBsjjOTB3BJQf4wRhvqaTavWDKqQubyG2cvWLGmF8ZoPtQC0WJibJbJTlW350Z8SicVr/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

若,则（3）式左边的次数g(x)的次数，而右边则不然，所以矛盾，由此矛盾即知.由（3）式即知，故q（x），r（x）式唯一的。

定理1与§1中的定理1是非常类似的，只是将的要求换成类似的要求：r（x）的次数的次数或r（x）=0.

下面我们再讨论高斯（代数）整数的带余除法.设i表示虚单位，即.高斯整数就是形如

是整数 （4）

的一切数。显然高斯整数包括整数，而且任何两个高斯整数的和、差与乘积仍是是高斯整数，为了讨论带余除法，我们引进高斯整数的范数

,如果 (5)

表示的共轭复数，显然是非负整数，N（）=0当且仅当.若是高斯整数，则

<embed style="vertical-align: -1.469ex;width: 31.854ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFPCns4hA35rBniauez0ibZeibDmeeNpkwARGd4ZHH0ibmIAo0NCmPQTXdWxfXmHb1icYb4PiaVCVepFYjl/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

(6)

高斯整数的带余除法即

设是两个高斯整数，且,则存在唯一的高斯整数使证：由复数的运算知

其中是有理数。令是距最近的整数。令,则是高斯整数。<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 40.897ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFPCns4hA35rBicaxXVM1yCWo3nUU53rVItZYGQHPRARRssF9lzNJjQdeYiceOCMO6WwnDVRicLVI8re/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

因而也是高斯整数，还有由的定义知

,

于是

<embed style="vertical-align: -1.469ex;width: 36.625ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFPCns4hA35rBGvOhul1LAq97dfqWfhmq5cxQ3dNm8CynvEZGR0HWiaYfwjkER8ghsMGy60W5rdJld/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

人们把多项式、高斯整数以及其他例子的带余除法加以一般化，提出了欧式环的概念，先介绍环及整环的概念。

设R是一个集合，并且（i）在R中定义了一个叫加法（记作“+”）的运算，即对R中任何两个元素a，b来说，在R中有一元c=a+b，还在R中定义了一个叫乘法（记作“”）的运算，即对任何,在R中有一元.

(ii) 加法满足下列条件：（a）对任何a、b,a+b=b+a;(b)对任何a，b，c，(a+b)+c=a+(b+c)；（c）R中有一零元：a+0=0+a=a,对任何成立；（d）R中任何元a有负元-a满足：a+(-a)=(-a)+a=0

(iii)乘法满足结合率：即对任何 有

（ab）c=a（bc）

（iv）乘法对两个加法的两个分配律成立：即对任何有

a(b+c)=ab+ac

(b+c)a=ba+ca

则称此集合R对这个加法“+”及这个乘法""是一个环。

若集合R对加法“+”，乘法“”是一个环，且（i）乘法满足交换律：即对任何a、b，成立；

（ii）R有单元1：即对任何，;

(iii)R没有零因子：即若则a=0或b=0. 则称R对“+”，“”是一整环。

不难验证：全体整数对整数的加法和乘法是一整环，全体高斯整数对复数加法和乘法是一整环，全体有理系数多项式对多项式的加法和乘法是一整环，它们分别称为整数环，高斯整数环，有理系数多项式环。

一个整环R叫做欧式环，如果满足：

（i）有一个从R的非零元作成的集到非负整数集的映射存在，即对任何,有一唯一的非负整数.

(ii)对任何,则有使

a=bq+r,r=0或

整数环是欧氏环，这只要取即可。

有理系数多项式环是欧氏环，这只要取为a的次数即可。

高斯整数环是欧氏环，这只要对高斯整数取即可。

按照§1所指出的方法及参考书可以建立欧氏环的可约性理论及标准分解式甚至还可以讨论更一般的主理想环的相应问题，不过限于篇幅，不在这里赘述，有兴趣的读者可以自己讨论或参考张禾瑞：《近世代数基础》第四章。

还应该指出：高斯整数环只是代数整数环的一个特例，关于代数整数有很丰富的理论，有兴趣的读者可参看华罗庚：《数论导引》第十六章。

§3 小学算术中的除法

§1中的定理1所讲的带余除法只是一个存在性结果，并没有给出具体的算法，其实商数的和余数的具体求法还是小学课本中所讲的算法，但是那个算法的理论根据是什么呢？答案：是九九乘法表和§1中的定理1.这一节的目的就是要讲清这个问题，这也许对中小学老师理解课本的整数除法有些帮助，也说明中学老师学点初等数论是有好处的。

下面的推论和分析看起来有点复杂，实质上就是小学所讲除法的一般化和代数化，只要牢牢把握这一点，必要时举点例子帮助理解，就不会被那些复杂式子所迷惑。

设a，b是两个正整数，b>1,将他们写成十进位制：

(1)

以下分若干情形讨论

情形1，n<m

此时a<b于是令q=0，r=a,即得

a=qb+r,0<r<b

情形2，n=m且

此时a<b,仍然令q=0，r=a即可

情形3. ，且。(不妨设，否则仍然令q=0，r=a即可)

此时由九九乘法表知存在使使

<embed style="vertical-align: -0.452ex;width: 41.632ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfJWhMwaiaBNb9XAxn0PsGQwkEiafHBD9ysWHV1skPRDpDMO2LnfeRACm8L8R3HN4hJy/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml"> (2)

此处的即为小学算术中的试商，于是应再分两种情形(即试商够减、不够减两种情形)讨论：

(i)当时，则可证：<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 37.069ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSf0zibibZuImjQ3XMuggpboAjZ2EIabOFWAgK8GxxLkJ48EY1PYUfwYZMpywI6w5rzZ1/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml"> (3)

现在来证明(3).由(1)，(2)知

<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 38.022ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfVQibCDV7IgMErvkKo8ozQG73Rm8ZgD062yPm5ws17ib4xOqQFMkM4qE9rCuOakjzEP/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

(ii)当时，则且有.于是有正整数使

<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 36.49ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSf3vdw9eQKD3Fef7k4k1zqfUosmMJNdn8Qc3MLdjPPDSTgF9N1o9umka8zRMHQGcbI/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml"> (4)

这是容易从

<embed style="vertical-align: -0.439ex;width: 57.414ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfhV9hXdKctOoaMpGiaEL99pzSRZQwLclGpx6lIVK5jyEEW4rJ4iaDaLIonxX0olm07j/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

找到 的.

注：(3)，(4)说明在且的情形下，以b除a求商时，商的最高位数是n-m+1，首位数码是

例如a=310，当b=103时，商为个位数，首位数是3；当b=110时，首位数是2；当b=165时，首位数是1.

情形4 n>m且此时(2)不成立，因此考虑用去除的问题(即小学算术中第一位不能试商的情形)于是由九九乘法表知存在使

<embed style="vertical-align: -0.439ex;width: 44.704ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfBI9OzuYib4qQlFvydiaYbT9hxKCHolFFnroicj9b5D6a1WwK3Iezl0EGgXQfFCEEpJB/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml"> (5)

类似情形3，再分两种情形讨论：

(i)当则可证：

<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 42.792ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSf9qmufE1yo8mce3CN45lpGtXCAlicBVfZQLDicdTH5QQpfkxKuU0n8ZbSrwBg0MWdrg/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml"> (6)

它的证明也类似于（3）的证明：由（1），（5）知

<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 56.921ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSf5qfGflDagUtu8UluumGHdabw87me9cBVnicPwZFdATKL3dv2DGicpzAj2C9j39wQvq/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

(ii) 当时，类似于（4）的证明有正整数使

<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 43.127ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfh75vzniaySm4dfkAEPicichicMT0rDcWicQJhF6G0LwcIw7ZHe9X3SpnSde59icJmY1iaia3/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml"> （7）

总结情形3，4的讨论，由（3）（4）（6）（7）得到下列的

设a，b由(1)表示且，则有二正整数使

<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 44.663ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfmAnp56g6aGXuBE5Hj5RWib5JODaL0apTibtHYoAaOdMNeibXSN2E76Rs0Tr09bJxZ9H/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml"> (8) 其中分别为以b除a所得商数的位数及首位数码。

若，且记,将上述命题应用于a’，b，即知有二正整数使

<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 46.82ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfgu4xoJt8MhmpbfxWUT9tfCXaMH0gjVuoea1TvbXkH4ppnbkicrpIOjrL45qfvfsyv/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml"> （9）

由(8)，(9)知

<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 34.175ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfy7Mr7kBhB9Q0h13KujQgPOBRsBFbUnVo2FGETAHXdelTLR9ePeB907RibMBCibNDAT/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

故得

(10)

反复应用上述命题及上一段的论证知：存在两列正整数及使

<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 37.048ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfPP34VQwOiaI2aIK6OQia30P6icDmXwy5d3y3oEaUcjRUh57jNzrkKF7CFMCDx48Sj9z/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

<embed style="vertical-align: -0.566ex;width: 33.733ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSffq7JdA8fJTiaribvzx3b4DYCWtL7UZibFlrYxcvYoqEW9zDPhpzYgoGicgvR20Vhna8n/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

令，利用上式则得

<embed style="vertical-align: -0.791ex;width: 41.633ex;height: auto;" src="https://mmbiz.qlogo.cn/mmbiz_svg/7N2JRaWooRBxia6CxvicvrFKy1WwvMdGSfCicynyJG3zzbB9ibrHpKVmibibHVg8qMphfzibCDBoJBMlcwry7VqYdgj8vrJDMosAY4C/0?wx_fmt=svg" data-type="svg+xml">

由引中的定理知以b除a所得的余数为r，商

另一方面，由上述讨论知就是按小学算术中的算法求出的商，因此我们从理论上证明了小学算术中给出的求商和余数就是带余除法中的商和余数.